蓝湾未来领导力学校FLA教师说 | 数学之美：环而共盘的妙趣

　　FLA教师说 | 数学之美：环而共盘的妙趣

　　勾股定理，是中国古代数学典籍《周髀算经》的开篇定理，也是数学著作《几何原本》第一卷中的倒数第二个命题，而最后一个命题则是勾股定理的逆定理。要知道，《几何原本》是全世界流传度排名第二的书籍，仅次于《圣经》。这么重要的一部数学著作，会将勾股定理及其逆定理作为第一卷最核心的命题，其重要地位不言而喻。不仅如此，勾股定理长期以来都不断吸引一众数学家及爱好者们孜孜不倦投入热情，古今中外，对这一定理的证明就逾五百种，这样的魅力不得不让人惊叹。

　　在初中数学的学习中，学生需要逐步建立对平面几何的系统化认识，而勾股定理在这其中发挥着举足轻重的作用。在勾股定理的学习过程中，涉及的证明和应用都能极大地帮助学生发展数学思维，推动他们从直观的几何认识过渡到逻辑化几何推演。接下来让我们看看，在FLA，七年级的学生们接触到这一定理时，与什么样的美好不期而遇了呢?

　　定理证明

　　七年级的孩子们是在《周髀算经》中周公与商高的一段对话中初识勾股定理的。当中的关键话语“半之一矩，环而共盘……”引发了孩子们的思考：“半之一矩，环而共盘”是什么操作?这和勾股定理有什么关系呢?

　　“半之一矩”即将一个矩形分成两半，那么“半之一矩”会得到什么呢?结合勾股定理的三角形教学主题，孩子们迅速锁定了用对角线将一个矩形分为两个直角三角形的方式，并借助3D打印教室制作的带铰链三角形开始重演“环而共盘”之旅。一番思考下来，班中的孩子们得到了两种“环而共盘”的方式

　　很快，同学们通过假设两条直角边为a和b，斜边为c，找到了两个图中的奥秘：

　　大正方形的面积(边长为a+b)，等于小正方形的面积(边长为c)加上4个小三角形的面积(每个小三角形的面积为a*b*½)，可推导出勾股定理。

　　大正方形的面积(边长为c)，等于4个小三角形的面积(每个小三角形的面积为a*b*½)加上小正方形的面积(边长为a-b)，可推导出勾股定理。

　　也就是说，这两种“环而共盘”的方式都可以推导出勾股定理，因此我们有十足的把握说，《周髀算经》上所说的“半之一矩，环而共盘”确实是勾股定理的证明。

　　另外，不少孩子注意到，上述两种证明都用到了完全平方公式，而完全平方公式有以下几何解释。当我们将两图放置在一起，竟然有一个更为显然的证明方法横空出世!不需要过多赘述，图片说明一切。

　　值得一提的是，利用FLA的3D打印机制作的带铰链三角形，首尾相连后，通过旋转就可以达到“环而共盘”的效果，而且顺时针及逆时针两种环绕方向，就可以分别获得两种环绕形态，着实是个好用的学具。

　　听说勾股定理有很多种证明方式后，孩子们也不甘于只停留在这三种证明上。在老师的引导下，他们先后将《几何原本》中的证明，以及希尔伯特、刘徽等数学家给出的经典证明都重新推演了一遍。在不同的证明方式中体验不一样的奇思妙想，并发现了中外几何证明上的“等量减等量差相等”、剖分等价、割补等价等一系列思维模式的特点，可以说，每一次证明都有一种全新的体验。

　　勾股定理的应用

　　既然是从古籍开始学习勾股定理，那么，循着这个思路继续往下，让我们也从古籍中学习勾股定理的应用吧!

　　刚遇到这些题目时，孩子们内心的阴影面积是极大的，直呼简直太难了!但经过认真思考后，竟然觉得还挺有意思的，一不小心就在FLA打开了通往诗意数学的一扇门。

　　而且，既然从勾股定理中得知：给定任意两个正方形，我们总能找到与这两个正方形面积相等的一个大正方形，那么，我们是否可以将一张正方形纸片，通过裁剪，使之可以拼凑出两个小正方形呢?具体的分割线又该如何设计呢?这个问题瞬间将数学课调频至手工课，学生们又开启了新一轮的探索之旅。

　　勾股定理的拓展

　　在勾股定理的多种证明方式里面，往往夹带着许多有趣的思考内容，例如在对正方形进行剖分拼补的过程中，很容易联想到地砖的平铺问题。

　　众所周知，边长相等的正方形可以铺满平面，而勾股定理让我们知道任意两个正方形的面积之和实际上也是某一个正方形的面积，于是我们就可以实现用大小不一的两种正方形，同样能铺满平面的方式了，这也就是毕达哥拉斯地砖(Pythagorean Tilings)!

　　熟悉勾股定理后，孩子们发现像(3，4，5)、(5，12，13)这样由三个自然数构成的勾股数组其实不那么好找，并不是任意给两个自然数就能找到第三个自然数能与之构成勾股数组，那么满足什么条件的三个自然数才可以生成勾股数组呢?带着这一疑问，学生们又开始了对勾股数组的构造探究。

　　另外，关于 的整数解还能够牵出一个著名的数学问题——费马大定理(当n>2时，不定方程 没有正整数解)。所学的勾股定理，看似普普通通，却能导向一个历经358年才终于得证的命题，这一事实着实让孩子们感到惊奇。

　　勾股定理并不是一个教学新名词。但是，在FLA的数学课堂中，学生们从这个数学大厦中的古老命题出发，用剪纸、绘图等多种方式探索和体验勾股定理背后的学问。同学们既能在古文中叹服于前人的智慧，又能在现代数学的问题中感受到其鲜活的温度，并由此产生了一连串的奇妙体验，这或许就是在数学世界遨游爱丽丝仙境吧!

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