AP微积分之复合函数单调性

  设函数y=f(x)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x)的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u;有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量(即函数)。

判断复合函数的单调性的步骤如下：

  1.求复合函数的定义域;

  2.将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数);

  3.判断每个常见函数的单调性;

  4.将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围;

  5.求出复合函数的单调性。

例如：

  求:函数f(x)=(3x+2)^3+3的导数

  设u=g(x)=3x+2

  f(u)=u^3+3复合函数的导数 

  f'(u)=3u^2=3(3x+2)^2

  不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数，只有当Mx∩Du≠Ø时，二者才可以构成一个复合函数。

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